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張景中:把數學變容易大有可為

2020-03-09 人民日報海外版
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  數學重要,但難學。改善數學教育是世紀性世界大課題。

  30年前,我在一本書里提出了“教育數學”的想法。所謂教育數學,就是為教育改造數學,把數學變得更容易。要讓概念更平易,推理更簡捷,方法更有力。

  40多年前,我在新疆一個農場中學教數學時,有幾件事情啟發了我,讓我認識到數學能夠變得更容易。1977年的一道高考題,我用小學里的面積計算方法做出來了。1978年的一道奧數題,我又是用基于小學知識的面積方法找到了一個不到兩行的證明。10多年后,我才明白,這其實是發現了一種幾何定理機器證明的新方法。

  三角難懂,我用菱形面積定義正弦,接著通過面積計算輕松獲得了正弦定理和正弦和角公式。對此,初二學生說容易懂,記得牢,有趣。

  40年后,我才知道,數學教育大師弗賴登塔爾曾提出,能否提前兩年先學正弦。我找到了三角學在小學數學知識基礎上的生長點,實現了他的設想。

  1979年,我到中國科學技術大學任教,整理了這些心得,寫了《平面幾何新路》等讀物。不久,我又結合講微積分的體會,在1989年出版了《從數學教育到教育數學》一書,提出了“教育數學”的觀點,舉出了一批把數學變容易的實例,涉及幾何、三角和微積分。

  “教育數學”的主張贏得了廣泛贊同。2004年,中國高等教育學會教育數學專業委員會成立,專家們在多屆委員會年會上就教育數學進行了深入交流。

  數學究竟能不能變容易,還是要由教學實踐來檢驗。為了為教學實踐做更多準備,提供可操作的內容,2006年,我在《數學教學》和《數學通報》撰文,提出了“重建三角,全局皆活”的主張;2009年,我寫了《一線串通的初等數學》,作為科學出版社《走進教育數學》叢書中的一冊出版。

  經過30年的發酵,重建三角的思路,終于開始滲入課堂。

  從相關學術刊物和學位論文,我們可以捕捉到有關教學實驗的信息:對教育數學,學生教師均表示歡迎,認為新的概念方法別具一格,簡捷易懂,易于接受。

  寧波教育學院的崔雪芳教授曾組織在初一教正弦的實驗課,得出的結論是:學生始終保持濃厚的興趣,對后續學習產生了強烈的期待,學習的動力被進一步激發;在三角、幾何、代數間搭建了一個互相聯系的思維通道,后續學習的思維空間得到整體的拓展。

  從2012年到2015年,在廣州市科協項目支持下,廣州市海珠實驗中學青年教師張東方,對兩個班105名學生,做了初中全程的“重建三角”教學實驗。實驗結果顯示:學生的思維更活躍,分析和解決問題的能力明顯提升。中考數學成績優秀率達到100%,而對比班級為67%。

  成功的實驗引起了關注。有些師范學院把教育數學列入教學內容,組織相關教學實驗;農村山區的實驗學校,學生學習積極性提高,進步也很快;不少老師自發地投入教學實踐,組織課外活動,編寫校本教材,推廣教育數學的新思想和新方法。三十年磨一劍,把數學變容易在初中里開始成為現實。

  解析幾何、向量能不能變容易?微積分呢?

  萊布尼茨問過,點如何相加?我們提出的“點幾何”給出了最為淺顯的回答,由此對上千個幾何問題給出了簡單清楚的恒等式解答。這解答立刻能轉化為向量、復數或坐標的表達方式。這將把解析幾何、復數、向量的學習變得更容易。

  歷史上不少大家如拉格朗日,曾致力于建立不用極限的容易理解的微積分,都未成功。后人普遍認為此路不通。《普林斯頓微積分讀本》干脆宣稱,如果沒有極限概念,微積分將不復存在。

  在中國科學技術大學時,我曾致力把微積分變容易,雖小有所獲,終因進展艱難而停頓。在林群學長這方面長期堅持不懈的探索啟發激勵下,近20年,我重拾此方向的研究。最近,我們發現,從一些很平常的想法出發,即使沒有微積分,也能夠系統而簡捷地解決通常認為微積分才能解決的許多問題。沿此思路,可以在引入極限之前嚴謹地建立微積分了。

  著名英國數學家阿蒂亞認為,為了知識的傳承,必須不斷努力把它們簡化和統一。他希望,“過去曾經使成年人困惑的問題,在以后的年代里,連孩子們都能容易地理解。”

  把數學變容易,任重道遠,但大有可為。

  (作者為中國科學院院士)

打印 責任編輯:侯茜

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